Calcul de la dérivée d'un produit - Exemple 2

$$ Calculons les dérivées des fonctions suivantes : 

• $$ Soit  $f$  la fonction définie sur  $[0;+\mathrm{\infty }[$ par  $f(x)=x^4\sqrt{(}x)$ .
  
• Soit  $g$  la fonction définie sur  $]0;+\mathrm{\infty }[$ par  $g(x)=4/x\sqrt{(}x)$ .
  

Ces fonctions sont dérivables sur   $]0;+\mathrm{\infty }[$  comme produit de fonctions dérivables (attention,  $x\mapsto \sqrt{(}x)$  n'est pas dérivable en  $0$ ). 

• $f(x)=x^4\sqrt{(}x)$  est le produit des fonctions définies et dérivables sur  $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $u(x)=x^4$  et  $v(x)=\sqrt{(}x)$  dont les dérivées sont données par $u^{\prime }(x)=4x^3$  et  $v^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ . 
  

En appliquant la propriété de la dérivée d'un produit on obtient :
Pour tout  $x\in ]0;+\mathrm{\infty }[$ ,  $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)=4x^3\sqrt{x}+x^4\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ $$ ,
c'est-à-dire,  $f^{\prime }(x)=4x^3\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3\sqrt{x}$  (car  $x^4/(2\sqrt{(}x))=1/2\frac{x^{3}x}{\sqrt{(}x)}=1/2x^{3}x/\sqrt{(}x)=1/2x^3\sqrt{(}x)$ ).
Enfin  $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{9}{2}}{x}^3\sqrt{x}$ . 

• `g(x)=\color{red}{4/x}\color{green}{\sqrt(x))`  est le produit des fonctions définies et dérivables sur  $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $u(x)=4/x$  et  $v(x)=\sqrt{(}x)$  dont les dérivées sont :  $u^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$  et  $v^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ . 
  Pour tout  $x\in ]0;+\mathrm{\infty }[$ ,  $g^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}\times \sqrt{x}+{\displaystyle \frac{4}{x}}\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ , 
  c'est-à-dire,  $g^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{4\sqrt{x}}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{2x\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{-4}{x\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{2}{x\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{-2}{x\sqrt{x}}}$ .